Brownian เคลื่อนไหว เคลื่อนไหว ค่าเฉลี่ย

ที่ปรึกษาผู้เชี่ยวชาญของ MetaTrader บล็อก Dekalog เป็นเว็บไซต์ที่น่าสนใจที่ผู้เขียน Dekalog พยายามที่จะพัฒนาวิธีใหม่และเป็นเอกลักษณ์ในการใช้การวิเคราะห์เชิงปริมาณเพื่อการซื้อขาย ในโพสต์ล่าสุดเขาได้พูดถึงการใช้แนวคิด Brownian Motion ในแบบที่จะสร้างวงรอบราคาปิดของ chart8217s วงดนตรีเหล่านี้จะเป็นตัวแทนของช่วงเวลาที่ไม่ได้เป็นเทรนด์และผู้ค้าสามารถระบุเวลาใด ๆ ที่อยู่นอกวงดนตรีเป็นระยะเวลาที่มีแนวโน้ม วิธี Dekalog8217s ในการใช้ Brownian Motion จะสร้างแถบบนและล่างที่กำหนดเงื่อนไขแนวโน้ม ที่รากของทุกๆเทรนด์ต่อไปนี้คือระบบการซื้อขายเพื่อกำหนดลักษณะการดำรงอยู่ของแนวโน้มและกำหนดทิศทางของมัน การใช้ Dekalog8217s Brownian Motion เป็นรากฐานของระบบอาจเป็นวิธีที่ไม่ซ้ำกันในการระบุแนวโน้มและดึงผลกำไรจากตลาดผ่านแนวโน้มดังกล่าว นี่คือสิ่งที่ Dekalog อธิบายถึงแนวคิดของเขา: พื้นฐานที่นำมาจากการเคลื่อนไหวของ Brownian คือบันทึกธรรมชาติของการเปลี่ยนแปลงของราคาโดยเฉลี่ยในอัตราที่เป็นสัดส่วนกับรากที่สองของเวลา ตัวอย่างเช่นระยะเวลา 5 ขึ้นไปถึง 8220current bar.8221 ถ้าเราใช้ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ 5 ช่วงของความแตกต่างที่แน่นอนของ log ของราคาในช่วงนี้เราจะได้รับค่าสำหรับการเคลื่อนไหวของราคาเฉลี่ย 1 บาร์ ในช่วงนี้ ค่านี้จะคูณด้วยรากที่สองของ 5 และบวกและลบออกจากราคา 5 วันก่อนเพื่อให้ได้ขอบเขตบนและล่างสำหรับแถบปัจจุบัน จากนั้นเขาจะใช้ขอบเขตบนและล่างในแผนภูมิ: หากแถบปัจจุบันอยู่ระหว่างขอบเขตเราจะกล่าวว่าการเคลื่อนไหวของราคาในช่วง 5 ช่วงที่ผ่านมาสอดคล้องกับการเคลื่อนไหวของ Brownian และประกาศให้ทราบถึงแนวโน้มที่ไม่มีแนวโน้มนั่นคือตลาดด้านข้าง หากแถบปัจจุบันอยู่นอกขอบเขตเราจะแจ้งให้ทราบว่าการเคลื่อนไหวของราคาในช่วง 5 แท่งสุดท้ายไม่สอดคล้องกับการเคลื่อนไหวของ Brownian และแนวโน้มมีผลบังคับใช้ไม่ว่าจะขึ้นหรือลงขึ้นอยู่กับที่ จำกัด แถบปัจจุบันอยู่นอกเหนือขอบเขต Dekalog ยังเชื่อแนวคิดนี้อาจมีค่าเกินกว่าการบ่งชี้: ง่ายที่จะจินตนาการการใช้งานนี้ในแง่ของการสร้างตัวบ่งชี้ แต่ฉันตั้งใจจะใช้ขอบเขตในการกำหนดคะแนนของความไม่สุจริตในช่วงเวลาต่างๆรวมกันเพื่อกำหนดราคา การเคลื่อนไหวเพื่อถังสำหรับการสร้างมอนติคาร์โลถัดไปของราคาสังเคราะห์เคลื่อนไหว Brownian และตลาดโฟเร็กโดย Armando Rodriguez มัน wouldnt เป็นครั้งแรกที่สูตรพัฒนาสำหรับปรากฏการณ์ในเขตข้อมูลที่ใช้ประสบความสำเร็จในอีกก็ยังมีชื่อและมัน เรียกว่าความคล้ายคลึงกัน มีหลายตัวอย่างของความคล้ายคลึงกันสูตรเพื่อแก้โครงสร้าง mechanicals แบบคงที่เหมือนกับที่ใช้ในการแก้ปัญหาเครือข่ายข่าวกระจายเป็นหมึกในน้ำนิ่งและอื่น ๆ อีกมากมาย ที่นี่เรากำลังสร้างความคล้ายคลึงกันของการเปลี่ยนแปลงราคาตลาด FOREX กับการเคลื่อนไหวของ Brownian นอกจากนี้การเปรียบเทียบจะทำไม่ใช่แค่เพื่อความเพลิดเพลินของสมมาตรของธรรมชาติเท่านั้น ในกรณีนี้เราต้องการทราบว่าอัลกอริธึมการค้าไม่น่าจะมีผลกำไรและควรระงับการซื้อขาย การเคลื่อนไหวของ Brownian Brownian (ชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่นักพฤกษศาสตร์ Robert Brown) เดิมเรียกว่าการเคลื่อนไหวแบบสุ่มที่สังเกตได้จากกล้องจุลทรรศน์ของเกสรที่แช่อยู่ในน้ำ เรื่องนี้ทำให้งงงวยเพราะอนุภาคเกสรที่ลอยอยู่ในน้ำนิ่งไม่มีเหตุผลชัดเจนในการเคลื่อนย้ายทั้งหมด ไอน์สไตน์ชี้ให้เห็นว่าการเคลื่อนไหวนี้เกิดขึ้นจากการทิ้งระเบิดโมเลกุลของโมเลกุลน้ำ (ความร้อน) แบบสุ่มบนละอองเรณู มันเป็นเพียงผลของลักษณะโมเลกุลของสสาร ทฤษฎีสมัยใหม่เรียกว่ากระบวนการสุ่มและได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสามารถลดการเคลื่อนไหวแบบสุ่มวอล์คเกอร์ ผู้สุ่มสุ่มแบบหนึ่งมิติเป็นคนที่มีแนวโน้มที่จะก้าวไปข้างหน้าเช่นย้อนกลับกล่าวว่าแกน X ในเวลาใดก็ตาม ผู้เล่นสุ่มแบบสุ่มเลือกทำแบบเดียวกันใน X หรือ Y (ดูภาพประกอบ) ราคาหุ้นมีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในทุกๆการทำธุรกรรมการซื้อจะทำให้มูลค่าเพิ่มขึ้น ภายใต้การซื้อขายหุ้นหลายพันรายการราคาหุ้นควรแสดงการเคลื่อนไหว Brownian หนึ่งมิติ นี่เป็นเรื่องของวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของ Louis Bachelier ในปีพ. ศ. 2443 ทฤษฎี quotulation. quot มันแสดงให้เห็นถึงการสุ่มวิเคราะห์หุ้นและตลาดตัวเลือก อัตราความชราของไครเนียร์ควรทำตัวเป็นอนุภาคเกสรในน้ำมากเช่นกัน Brownian Spectrum คุณสมบัติที่น่าสนใจของการเคลื่อนไหวของ Brownian คือสเปกตรัม ฟังก์ชันในช่วงเวลาใด ๆ สามารถถือได้ว่าเป็นผลรวมของชุดฟังก์ชัน sinecosine ที่ไม่มีที่สิ้นสุดของความถี่ที่มีการผกผันของช่วง นี้เรียกว่าชุดฟูริเยร์ แนวคิดนี้สามารถขยายไปยังฟังก์ชันที่ไม่ใช่เป็นระยะซึ่งจะช่วยให้ระยะเวลาไปสู่อนันต์ได้และนี่ก็เป็นส่วนหนึ่งของฟูริเยร์ แทนลำดับของ amplitudes สำหรับแต่ละความถี่หลายที่คุณจัดการกับฟังก์ชันของความถี่ฟังก์ชันนี้เรียกว่าสเปกตรัม การแทนสัญญาณในพื้นที่ความถี่คือภาษาที่ใช้ในการส่งผ่านข้อมูลการมอดูเลตและเสียงรบกวน ตัวควอไลเซอร์กราฟฟิคที่รวมอยู่ในอุปกรณ์เครื่องเสียงภายในบ้านหรือโปรแกรมเครื่องเสียงคอมพิวเตอร์ได้นำแนวคิดจากชุมชนวิทยาศาสตร์ไปใช้กับครัวเรือนในปัจจุบันสัญญาณที่เป็นประโยชน์คือเสียงดัง เหล่านี้เป็นสัญญาณที่ไม่พึงประสงค์โดยมีลักษณะสุ่มจากต้นกำเนิดทางกายภาพที่ต่างกัน สเปกตรัมของเสียงรบกวนเกี่ยวข้องกับต้นกำเนิดของมัน: เสียง J ohnsonNyquist (เสียงความร้อนเสียง Johnson หรือ Nyquist noise) เป็นสัญญาณรบกวนอิเล็กทรอนิกส์ที่สร้างขึ้นจากการลัดวงจรด้วยความร้อนของผู้ให้บริการชาร์จ (โดยปกติคืออิเล็กตรอน) ภายในตัวนำไฟฟ้าที่จุดดุลยภาพ เกิดขึ้นโดยไม่คำนึงถึงแรงดันไฟฟ้าที่ใช้ เสียงรบกวนมีสีขาวเกือบ หมายความว่าความหนาแน่นของสเปกตรัมกำลังเท่ากันตลอดสเปกตรัมความถี่ เสียงกระเพื่อมเป็นประเภทของเสียงอิเล็กทรอนิกส์ที่มีคลื่นความถี่ 1f หรือชมพู ดังนั้นจึงมักเรียกว่าเสียงรบกวน 1f หรือเสียงสีชมพู แม้ว่าคำเหล่านี้มีคำจำกัดความที่กว้างขึ้น มันเกิดขึ้นในเกือบทุกอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ และผลจากความหลากหลายของผลกระทบเช่นสิ่งสกปรกในช่องกระแสไฟฟ้าการสร้างและการรวมตัวกันของเสียงในทรานซิสเตอร์เนื่องจากฐานปัจจุบันและอื่น ๆ เสียงบราวนี่หรือเสียงสีแดงเป็นสัญญาณรบกวนที่เกิดจากการเคลื่อนไหวของ Brownian ความหนาแน่นของสเปกตรัมเป็นสัดส่วนกับ 1f 2. หมายความว่ามันมีพลังงานมากขึ้นที่ความถี่ต่ำกว่ามากยิ่งขึ้นกว่าเสียงสีชมพู ความสำคัญของการสนทนานี้ก็คือเมื่อคุณคำนวณสเปกตรัมของสัญญาณอัตรา FOREX มันเกิดขึ้นขึ้นกับการพึ่งพิงของ 1f 2 ซึ่งหมายความว่าเป็นลักษณะ Brownian ด้วยเช่นกัน พฤติกรรมในเวลาพฤติกรรมของตลาด FOREX ในกรณีที่ไม่มีเหตุการณ์ยังมีพฤติกรรมที่สมบูรณ์แบบ Brownian กล่าวคืออัตราการซื้อขาย FOREX มีพฤติกรรมเหมือนผู้เดินสุ่มแบบสุ่ม ความหนาแน่นของความเป็นไปได้ในการหาผู้เล่นสุ่มที่ตำแหน่ง x หลังจากเวลา t ตามกฎหมาย Gaussian ในกรณีที่ s คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานนั่นคือสำหรับผู้สุ่มเป็นหน้าที่ของรากที่สองของ t และนี่คือสิ่งที่อัตรา FOREX ตามความสมบูรณ์แบบของการทดลองดังที่แสดงไว้ด้านล่างสำหรับคำพูด EURUSD ในรูปที่ 1 การแสดงออกของการวิเคราะห์สำหรับรูปข้างบนด้วย อัตราใน pips และ t ในนาทีจากเวลาเริ่มต้น t 0: โดยเฉลี่ยมี 45 EURUSD คำพูดในหนึ่งนาทีดังนั้นการแสดงออกด้านบนสามารถวางในแง่ของราคา N th หลังจากครั้งแรก การเคลื่อนที่ของอนุภาคละอองเกสรสามารถกล่าวได้ว่ามีส่วนประกอบสองแบบซึ่งมีลักษณะเป็นแบบสุ่มตามที่อธิบายไว้ข้างต้น แต่ถ้าของเหลวมีการไหลไปในทิศทางใดก็จะมีการเลื่อนลอยไปยัง Brownian ตลาดโฟเร็กแสดงการเคลื่อนไหวทั้งสองแบบส่วนประกอบความถี่สูงขึ้นและมีการเคลื่อนไหวแบบลอยน้อยกว่าที่เกิดจากข่าวที่ส่งผลต่ออัตรา การเคลื่อนไหวแบบสุ่มไม่ดีสำหรับธุรกิจเก็งกำไรไม่มีทางใดที่จะทำกำไรได้โดยเฉลี่ยในตลาดแบบสุ่มสมบูรณ์แบบ เฉพาะการเคลื่อนที่แบบล่องลอยเท่านั้นที่สามารถสร้างผลกำไรได้ การสุ่มตัวอย่างของตลาดไม่ใช่ค่าคงที่ในเวลาและไม่มีการลอยตัว ในช่วงเหตุการณ์ข่าวการเคลื่อนไหวแบบล่องลอยมีขนาดใหญ่และเป็นเหตุการณ์ที่สามารถทำกำไรได้ แต่มีเหตุการณ์ที่ทำความสะอาดขึ้นซึ่งอัลกอริทึมอัตโนมัติทำงานได้ดีที่สุดและมีคนที่สกปรกด้วยจำนวนสุ่มที่สามารถขับเคลื่อนอัลกอริทึมที่ฉลาดที่สุดเข้าไปได้ แพ้ FOREX ตลาดคู่สกุลเงินอุณหภูมิในระบบทางกายภาพความเข้มของการเคลื่อนไหว Brownian ของอนุภาคสามารถนำมาเป็นสี่เหลี่ยมเฉลี่ยของความเร็วสุ่มของมันและนี้พบว่าเป็นสัดส่วนกับอุณหภูมิและผกผันกับมวลอนุภาค ltVrdm 2 gt 3KTm ความเร็วสุ่มคือความแตกต่างของความเร็วทั้งหมดที่ลบด้วยความเร็วเฉลี่ยหรือล่องลอย ความรู้สึกที่แท้จริงของความเร็วลอยคือความเร็วเฉลี่ยของอนุภาคจำนวนมากในเวลาที่กำหนดซึ่งจะบ่งบอกได้ว่าทั้งตัวของอนุภาคของเหลวและอนุภาคแขวนลอยเคลื่อนไปโดยรวม แต่เนื่องจากความเร็วสุ่มต้องเฉลี่ยในเวลาที่เป็นศูนย์ค่าเฉลี่ยของความเร็วของอนุภาคเดี่ยวในเวลาเท่ากับความเร็วดริฟท์ ในการเปรียบเทียบตลาด FOREX อัตราคู่สกุลเงินเป็นอนุภาคขนาดหนึ่งตำแหน่งดังนั้นความเร็วเมื่อใดก็ได้ t คือการเคลื่อนไหวของราคาอ้างอิงตั้งแต่ครั้งสุดท้ายที่ t 0 หารด้วยช่วงเวลา ความเร็วเฉลี่ยจะเป็นค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่แบบเสวนาของคำพูด อุณหภูมิของคู่สกุลเงิน Tcp จะเป็นดังนี้: Tcp (m3K) ltVrdm 2 gt มวลของคู่สกุลเงินเป็นขนาดที่กำหนดดังนั้นค่าคงที่ Boltzman ไม่มีความหมายที่นี่ ยังคงความเข้มเฉลี่ยในระยะยาวของการเคลื่อนไหวอัตรา Brownian จะขึ้นอยู่กับสกุลเงินคู่ดังนั้นพวกเขาดูเหมือนจะแสดงฝูงที่แตกต่างกัน การหามวลสำหรับคู่สกุลเงินแต่ละสกุลจะช่วยให้มีการอ้างอิงทั่วไปสำหรับอุณหภูมิ ถ้าเราเอามวล EUR เป็น 1 แล้ว: มวลข้างบนจะทำให้อุณหภูมิเฉลี่ยเท่ากับ 300 K ซึ่งเท่ากับอุณหภูมิห้องในระดับเคลวินซึ่งสอดคล้องกับ 27 องศาเซลเซียสหรือ 80.6 ฟาเรนไฮต์ แต่นอกเหนือจากความเพ้อฝันมันไม่ได้ให้ลึกซึ้งลึกเข้าไปในปัญหา การทำ (m3K) 1 ทำให้อุณหภูมิเท่ากับความแปรปรวนของความเร็ว เนื่องจากรากที่สองของค่าความแปรปรวนเป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเช่นการกำหนดอุณหภูมิจะให้ความคิดว่าความรุนแรงของการเคลื่อนที่แบบสุ่มจะอยู่ใน pips. second การตรวจจับเหตุการณ์และอุณหภูมิของสกุลเงินเหตุการณ์ข่าวที่ส่งผลกระทบต่อมูลค่าของเงินดอลลาร์สหรัฐฯสามารถตรวจพบได้เมื่ออัตราแลกเปลี่ยนกับสกุลเงินหลักที่เหลืออยู่เปลี่ยนแปลงไปอย่างต่อเนื่อง กล่าวอีกนัยหนึ่งเมื่อการเคลื่อนไหวของอัตราเกิดขึ้นกับความสัมพันธ์ (ดูภาคผนวกก. ในการคำนวณเหตุการณ์) การแสดงออกเชิงตัวเลขของความสัมพันธ์นี้คือค่าเฉลี่ยของความแตกต่างระหว่าง EMA (ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่แบบเสวนา) ของทุกสกุลเงินหลัก ปัญหาเกี่ยวกับแนวทางนี้ก็คือค่าเงินที่สำคัญที่จะต้องพิจารณาไม่ใช่จำนวนที่มากนักเพียง 6 คู่เท่านั้นที่สามารถใช้ได้ ค่าเฉลี่ยของตัวอย่างขนาดเล็กดังกล่าวไม่ได้รับผลกระทบจากการเคลื่อนที่แบบสุ่มและมีแนวโน้มที่จะแสดงผลผิดพลาด การตรวจสอบอาจจะดีขึ้นหากผลงานมีค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักโดยพิจารณาจากอุณหภูมิของคู่ แม่นยำมากขึ้น: ไตร่ตรองโดยความน่าจะเป็นของอัตราความเร็วสังเกตไม่ได้เนื่องจากลักษณะ Brownian ของการเคลื่อนไหว รู้ว่าการกระจายความเร็วในการเคลื่อนที่ Brownian เป็น Gaussian ในกรณีที่ไม่มีเหตุการณ์ความน่าจะเป็นของการสังเกตความเร็วต่ำกว่าค่า V สามารถคำนวณได้จากพื้นที่ภายใต้เส้นความหนาแน่นความน่าจะเป็น Gaussian: ในคำพูด, curve บอกเราดังนี้ พิจารณาคู่ EURUSD ซึ่งโดยปกติจะแสดงเป็น ltVrdm 2 gt ที่ 2.94 pips วินาทีในขณะที่ความเร็วภายใต้ค่านี้จะอยู่ที่ 68.2 เท่าเกินกว่า 31.8 เท่านั้น ดังนั้นมันก็ยุติธรรมที่จะบอกว่าถ้าความเร็วสังเกตอยู่เหนือบอก 6 มันไม่น่าเป็นไปได้มาก (4.4) ว่ามันมาจากการสุ่ม การแสดงออกทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็นของความเร็ว V ไม่ใช่การสุ่มคือ: P erf ((V 2 ltVrdm 2 gt)) โดยที่ erf (x) เรียกว่าฟังก์ชันข้อผิดพลาด ค่าเฉลี่ยความสัมพันธ์แบบคร่าว ๆ จะเป็นดังนี้: ภาคผนวก A การประมาณค่า TriggerStrong โดยประมาณของการเคลื่อนไหว Brownian เป็นเศษ ๆ โดยการย้ายค่าเฉลี่ยของการเดินแบบสุ่มอย่างง่าย Pl Rvsz เนื่องในโอกาสวันเกิดปีที่ 65 Tams Szabados ภาควิชาคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งบูดาเปสต์ Egry u 20-22 , H p. V em บูดาเปสต์, 1521, ฮังการีวันที่ 19 ธันวาคม พ. ศ. 2542 แก้ไขเมื่อวันที่ 29 สิงหาคม พ. ศ. 2543 ได้รับการยอมรับเมื่อวันที่ 4 กันยายน พ. ศ. 2543 มีวางจำหน่ายในวันที่ 9 กุมภาพันธ์ พ. ศ. 2544 การเคลื่อนไหวของ Brownian เป็นส่วนหนึ่งของการเคลื่อนไหวของ Brownian โดยเฉพาะเมื่อต้องพึ่งพาในระยะยาว แนะนำอย่างชัดเจนคือ Mandelbrot และ Van Ness (SIAM Rev. 10 (1968) 422) เป็นกระบวนการ Gaussian ที่คล้ายคลึงกัน W (H) (t) ที่มีการเพิ่มขึ้นคงที่ ที่นี่ความคล้ายคลึงกันของตัวเองหมายความว่าเมื่อ H (0,1) เป็นพารามิเตอร์ Hurst ของการเคลื่อนไหว Brownian เศษส่วน FB. Knight ได้สร้างการเคลื่อนไหว Brownian แบบธรรมดาขึ้นโดยใช้การสุ่มแบบสุ่มในปี 1961 หลังจากนั้นวิธีการของเขาก็ง่ายขึ้นโดย Rvsz (Random Walk ใน Random และ Non-Random Environments, World Scientific, Singapore, 1990) และจาก Szabados (Studia Sci. คณิตศาสตร์ฮุง 31 (1996) 249297) วิธีนี้ค่อนข้างเป็นธรรมชาติและเป็นพื้นฐานและดังนั้นจึงสามารถขยายไปสู่สถานการณ์ทั่วไปได้มากขึ้น จากที่นี่เราใช้ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ของลำดับที่ซ้อนกันที่เหมาะสมของการเดินแบบสุ่มอย่างง่ายซึ่งเกือบจะสม่ำเสมอไปรวมกันเป็นเศษส่วนของการเคลื่อนไหว Brownian เมื่อ compacts เมื่อ อัตราการลู่เข้าที่ได้รับการพิสูจน์ในกรณีนี้คือโดยที่ N คือจำนวนขั้นตอนที่ใช้สำหรับการประมาณ หากมีความแม่นยำมากขึ้น (แต่ก็ซับซ้อนมากขึ้น) Komls et al. (1975,1976) ถูกใช้แทนการสุ่มเดินแบบสุ่มเข้าสู่การเคลื่อนที่ของ Brownian ธรรมดาจากนั้นจะเคลื่อนที่แบบเดียวกันเกือบเท่า ๆ กันไปรวมกันเป็นเศษส่วนของการเคลื่อนที่ Brownian บน compacts สำหรับ H (0,1) นอกจากนี้อัตราการลู่เข้ายังคาดว่าจะดีที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ การเคลื่อนที่ของเศษส่วน Brownian การสร้าง Pathwise การประมาณค่าการเคลื่อนที่แบบสุ่มการเคลื่อนที่โดยเฉลี่ย 1 การเคลื่อนที่แบบเศษส่วน Brownian การเคลื่อนไหวของ Brownian บางส่วนเป็นลักษณะทั่วไปของการเคลื่อนไหว Brownian ธรรมดา (BM) โดยเฉพาะเมื่อการพึ่งพาอาศัยในระยะยาวเป็นสิ่งจำเป็น แม้ว่าประวัติความเป็นมาของ fBM จะถูกตรวจสอบย้อนกลับไปยัง Kolmogorov (1940) และอื่น ๆ การแนะนำอย่างชัดเจนของมันคือ Mandelbrot และ van Ness (1968) ความตั้งใจของพวกเขาคือการกำหนดตัวเองที่คล้ายกัน (Gaussian) ที่มีการเคลื่อนที่แบบ stationary แต่ไม่เพิ่มขึ้นเองและมีเส้นทางตัวอย่างอย่างต่อเนื่อง a. s. ที่นี่ความคล้ายคลึงกันของตัวเองหมายความว่าสำหรับ gt0 ใด ๆ ที่ H (0,1) เป็นพารามิเตอร์ Hurst ของ fBM และระบุความเท่าเทียมกันในการกระจาย พวกเขาแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติเหล่านี้เป็นลักษณะของ FBM กรณีที่ลดลงเป็น BM ธรรมดาโดยเพิ่มขึ้นทีละเล็กทีละน้อยในขณะที่กรณี (resp.) ให้ค่าที่เพิ่มขึ้นเชิงลบ (resp บวก) ดู Mandelbrot and van Ness (1968) ดูเหมือนว่าในการใช้งาน fBM กรณีที่ใช้บ่อยที่สุด Mandelbrot และ Van Ness (1968) ให้การแสดงออกอย่างชัดเจนต่อไปนี้ของ fBM เป็นค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ของสามัญ แต่สองด้าน BM: ที่ 0 และ (x) max (x, 0) ความคิดของ (2) เกี่ยวข้องกับแคลคูลัสเชิงเศษส่วนที่เป็นตัวบ่งชี้ ซึ่งมีประวัติศาสตร์ที่ยาวนานกว่า fBM จะกลับไปที่ Liouville, Riemann และอื่น ๆ ดูใน Samko et al. (1993) กรณีที่ง่ายที่สุดคือเมื่อฟังก์ชัน f ต่อเนื่องและจำนวนเต็มบวกจะได้รับ จากนั้นการปฐมนิเทศด้วยการผสมผสานตามส่วนต่างๆสามารถแสดงให้เห็นว่าเป็นคำสั่งที่มีการใช้ตัวทำซ้ำ (หรือลำดับ) ของ f ในทางตรงกันข้ามนี่เป็นสิ่งที่กำหนดไว้สำหรับค่าบวกที่ไม่ใช่จำนวนเต็มเช่นกันซึ่งในกรณีนี้มันจะเรียกว่าเศษส่วนของ f ดังนั้น heuristically ส่วนหลักของ (2) เป็นลำดับความสำคัญของ (ในสามัญสำนึกที่ไม่มีอยู่จริง) กระบวนการเสียงสีขาว W (t) ดังนั้น fBM W (H) (t) สามารถถือเป็นการเปลี่ยนแปลงที่คงที่ของเศษส่วน W (t) ของกระบวนการเสียงสีขาวที่ 2 การเดินแบบสุ่มของการเคลื่อนที่แบบ Brownian เป็นเรื่องที่น่าสนใจว่าการก่อสร้าง BM ธรรมดาตามธรรมชาติโดยมีขีด จำกัด ของการเดินแบบสุ่ม (RWs) ปรากฏว่าค่อนข้างช้า ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของ BM เริ่มขึ้นในปี 1900 โดยมีผลงานของ Bachelier, Einstein, Smoluchowski และอื่น ๆ การก่อสร้างอาคารแห่งแรกที่ได้รับจาก Wiener 1921 และ Wiener 1923 ซึ่งตามมาด้วยอีกหลายแห่งในภายหลัง อัศวิน (1961) แนะนำการก่อสร้างครั้งแรกโดยการเดินแบบสุ่มที่ง่ายต่อเนื่องโดย Rvsz (1990) ผู้เขียนในปัจจุบันโชคดีพอที่จะได้ยินเรื่องนี้จากการก่อสร้างโดยตรงจาก Pl Rvsz ในการสัมมนาที่มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งบูดาเปสต์เมื่อสองปีก่อนที่จะมีการตีพิมพ์หนังสือ Rvszs ในปี 1990 และรู้สึกทึ่งกับมัน ผลของความพยายามที่จะทำให้ง่ายขึ้นก็ปรากฏตัวขึ้นใน Szabados (1996) จากนี้การแสดงออกของ RW จะอ้างถึงเวอร์ชันที่กล่าวถึงในภายหลัง มันเป็น asymptotically เทียบเท่ากับการใช้ Skorohod (1965) ฝังเพื่อหาลำดับชั้นที่ซ้อนกันของ RWs ใน BM ดูทฤษฎีบท 4 ใน Szabados (1996) ดังนั้นจึงมีข้อดีและข้อเสียบางประการเมื่อเทียบกับค่าประมาณที่เป็นไปได้ที่ดีที่สุดที่มีชื่อเสียงโด่งดังจาก BM ของผลรวมบางส่วนของตัวแปรสุ่มที่มีฟังก์ชันกำเนิดโมเมนต์ จำกัด ที่มีต้นกำเนิด หลังได้รับโดย Komls 1975 และ Komls 1976 และจะเป็นตัวย่อในการประมาณ KMT ในภาคต่อ ข้อดีหลักของการก่อสร้าง RW คือการใช้งานเบื้องต้นอย่างชัดเจนใช้ค่าในอดีตที่ผ่านมาในการสร้างสิ่งใหม่และใช้งานง่ายในทางปฏิบัติและเหมาะสำหรับการประมาณค่าของค่าคงที่ stochastic ดูทฤษฎีบทที่ 6 ใน Szabados (1996) และ Szabados ( 1990) จำได้ว่าการประมาณค่าของ KMT สร้างผลรวมบางส่วน (เช่นสมมาตรแบบสมมาตรแบบเบ็ดเสร็จ) จาก BM เอง (หรือจากลำดับ i. i.d ของตัวแปรมาตรฐานปกติ) โดยลำดับที่ซับซ้อนของการแปลงค่าเชิงปริมาณแบบมีเงื่อนไข สร้างมูลค่าใหม่ที่ใช้ในลำดับทั้งหมด (ค่าในอดีตและในอนาคตด้วย) ในขณะที่ความอ่อนแอที่สำคัญของการก่อสร้างของ RW คือการให้อัตราการลู่เข้าขณะที่อัตราการประมาณของ KMT เป็นไปได้มากที่สุดโดยที่ N คือจำนวนขั้นตอนที่พิจารณาใน RW ในตอนแรกเราจะสรุปคุณสมบัติหลักของการก่อสร้าง RW ข้างต้น จากนั้นการก่อสร้าง RW นี้จะใช้เพื่อกำหนดค่าประมาณใกล้เคียงกับ (2) ของ fBM ด้วยการย้ายค่าเฉลี่ยของ RW การรวมกันและข้อผิดพลาดของการประมาณนี้จะกล่าวถึงต่อไป ผลที่ตามมาของคุณสมบัติการประมาณค่าที่ค่อนข้างอ่อนแอของการก่อสร้างของ RW การรวมกันของ fBM จะมีขึ้นเฉพาะสำหรับและอัตราการลู่เข้าจะไม่ดีเท่าที่ควร เพื่อชดเชยเรื่องนี้ในตอนท้ายของบทความนี้เราจะหารือเกี่ยวกับสมบัติการลู่เข้าและข้อผิดพลาดของการก่อสร้างที่คล้ายกันของ fBM ที่ใช้การประมาณของ KMT แทนซึ่งจะ converges สำหรับ H ทั้งหมด (0,1) และอัตราการลู่เข้าที่สามารถคาดคะเนได้ ที่ดีที่สุดเมื่อประมาณ fBM โดยการย้ายค่าเฉลี่ยของ RWs การก่อสร้างของบีเอ็มดับบลิวที่นี่สรุปได้จาก Szabados (1996) เราเริ่มต้นด้วยเมทริกซ์อนันต์ของ i. i.d ตัวแปรสุ่ม X m (k), กำหนดไว้ในพื้นที่ความน่าจะเป็นพื้นฐานเดียวกัน แต่ละแถวของเมทริกซ์นี้เป็นพื้นฐานของการประมาณของ BM ที่มีขั้นตอนการทำขั้นบันไดบางอย่าง t 2 2 m ในเวลาและขั้นตอนที่สอดคล้องกันขนาด x 2 เมตรในพื้นที่แสดงโดยตารางถัดไป ขั้นตอนที่สองของการก่อสร้างคือการบิด จากการสุ่มตัวอย่างแบบสุ่ม (เช่นจากแถวในตารางที่ 1) เราต้องการสร้างกลุ่มที่พึ่งพาอาศัยกันเพื่อที่ว่าหลังจากการหดตัวของขนาดขั้นตอนชั่วคราวและเชิงพื้นที่แต่ละ RW ที่ต่อเนื่องจะกลายเป็นการปรับแต่งของลำดับก่อนหน้า เราจะกำหนดเวลาหยุดโดย T m (0) 0 และสำหรับ k 0 นี่เป็นเวลาสุ่มเมื่อ RW เข้าชมจำนวนเต็มที่แตกต่างจากที่ก่อนหน้านี้ หลังจากหดตัวลดลงครึ่งหนึ่งการปรับเปลี่ยนที่เหมาะสมของ RW นี้จะไปที่จำนวนเต็มเดียวกันในลำดับเดียวกับก่อนหน้านี้ RW เราจะดำเนินการในแต่ละจุดของพื้นที่ตัวอย่างตัวอย่างเช่นเรากำหนดเส้นทางตัวอย่างของแต่ละ RW ที่ปรากฏในตารางที่ 1 ดังนั้นแต่ละสะพาน S m (T m (k 1)) S m (T m (k)) ต้องเลียนแบบขั้นตอนที่สอดคล้องกัน x m 1 (k 1) ของ RW ก่อนหน้า เรากำหนด twisted RWs เป็น recursive สำหรับ m 1,2,3 โดยใช้เริ่มต้นด้วย (n 0) กับแต่ละ m คงที่เราดำเนินการสำหรับ k 0,1, ต่อเนื่องและทุก n ในสะพานที่สอดคล้องกัน, T m (k) lt n T m (k 1) สะพานใด ๆ พลิกกลับถ้าสัญญาณของมันแตกต่างจากที่ต้องการ (รูปที่ 1 รูปที่ 2 และรูปที่ 3): แล้ว จากนั้นแต่ละ (n 0) ยังคงเป็นแบบสมมาตรที่เรียบง่ายดูเล็มม่า 1 ใน Szabados (1996) นอกจากนี้ RW ที่บิดมีคุณสมบัติการปรับแต่งที่ต้องการ: ขั้นตอนสุดท้ายของการก่อสร้าง RW กำลังหดตัว เส้นทางตัวอย่างของ (n 0) สามารถขยายไปยังฟังก์ชันต่อเนื่องได้ด้วยการสอดแทรกเชิงเส้น วิธีนี้ได้รับ (t 0) สำหรับ t จริง จากนั้นเราจะกำหนดค่าประมาณ mth ของ BM (ดูรูปที่ 4) โดยเปรียบเทียบสามขั้นตอนของเส้นทางตัวอย่างของการประมาณครั้งแรก B 0 (t) และส่วนที่คล้ายกันของการประมาณที่สอง B 1 (t) ในรูป 1 และรูปที่ 1 (แตกต่างจากก่อนหน้า) ในลำดับเดียวกันเป็นครั้งแรกเพื่อเลียนแบบครั้งแรก แต่เวลาที่สอดคล้องกันในเวลาเดียวกันโดยทั่วไป: 2 2 T 1 (k) k. ในทำนองเดียวกัน (3) หมายถึงคุณสมบัติการปรับแต่งทั่วไป แต่มีความล่าช้าตามเวลาโดยทั่วไป แนวคิดพื้นฐานของการก่อสร้าง RW ของ BM คือความล่าช้าในเวลาเหล่านี้จะกลายเป็นขนาดเล็กเท่ากันหากได้รับขนาดใหญ่พอ สามารถพิสูจน์ได้ด้วยคำแทรกง่ายๆดังต่อไปนี้ ตารางที่ 1 การตั้งค่าเริ่มต้นสำหรับการก่อสร้าง RW ของ BM ไม่น่าแปลกใจสิ่งนี้และสมบัติการปรับแต่ง (5) บ่งชี้ถึงความใกล้เคียงกันของ BM สองอย่างต่อเนื่องถ้า m มีขนาดใหญ่พอ เล็มม่านี้ช่วยให้แน่ใจว่า a. s. สม่ำเสมอของการประมาณ RW ในช่วงเวลาที่กะทัดรัดและเป็นที่ชัดเจนว่าขั้นตอนการ จำกัด เป็นกระบวนการ Wiener (BM) กับเส้นทางตัวอย่างอย่างต่อเนื่องเกือบแน่นอน ทฤษฎีบท 1 ประมาณของ RW a. convereness สม่ำเสมอเพื่อกระบวนการ Wiener ในช่วงเวลาที่กะทัดรัดใด ๆ สำหรับใด ๆ และสำหรับ m m 2 (C) ใด ๆ เรามีผลลัพธ์ที่ยกมาข้างต้นสอดคล้องกับบทแทรก 2 บทแทรก 3 และบทแทรก 4 และทฤษฎีบท 3 ใน Szabados (1996) เรากล่าวถึงว่าแถลงการณ์ที่นำเสนอในที่นี้มีรูปแบบที่คมชัดขึ้นบ้าง แต่สามารถอ่านได้ง่ายจากหลักฐานในการอ้างอิงข้างต้น การประมาณทางเดินของเศษส่วนของการเคลื่อนที่อย่างเป็นรูปเป็นร่างของ fBM ได้ถูกกำหนดโดย Carmona และ Coutin (1998) แทน fBM เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของกระบวนการ Gaussian แบบอนันต์ อีกทางหนึ่งคือการก่อสร้างโดย Decreusefond และ stnel 1998 และ Decreusefond และ stnel 1999 ซึ่ง converges ในความรู้สึกของ L2 การก่อสร้างนี้ใช้การประมาณค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ของ fBM (2) โดยสิ้นเชิง ขึ้นอยู่กับพาร์ทิชัน deterministic ของแกนเวลา ยิ่งไปกว่านั้น (2) จะถูกแทนที่โดยปริพันธ์ในช่วงเวลาที่กะทัดรัด 0, t แต่มีเคอร์เนลที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งประกอบด้วยฟังก์ชัน hypergeometric ด้วย การประมาณค่าของ fBM ที่กล่าวถึงในที่นี้ก็จะเป็นรูปแบบการเคลื่อนที่โดยเฉลี่ยแบบไม่ต่อเนื่อง (2) ของ fBM แต่พาร์ทิชันแบบไดนามิกจะถูกนำมาใช้บนแกนเชิงพื้นที่ของ BM และหนึ่งจะได้รับพาร์ทิชันแบบสุ่มบนแกนเวลา นี่คือ asymptotically ฝังแบบ Skorohod ของ RW ที่ซ้อนกันใน BM ดังนั้นแทนที่จะเป็นส่วนประกอบเราจึงมีผลรวมและ BM ถูกแทนที่ด้วยชุดลำดับการกลั่นที่ซ้อนกันของการประมาณ RW ที่กล่าวถึงในส่วนก่อนหน้านี้ เนื่องจาก (2) มี BM สองด้านเราจำเป็นต้องมี 2 ลำดับดังนี้: หนึ่งสำหรับด้านขวาและอีกอันหนึ่งสำหรับแกนครึ่งซ้าย จากนี้ไปเราจะใช้สัญญณ์ต่อไปนี้: m 0 คือจำนวนเต็ม t 2 2 m . การประมาณเคอร์เนลการประมาณค่าของ fBM ตามนิยามคือ B m (H) (0) 0 และสำหรับจำนวนเต็มบวก k ซึ่งมีการใช้อนุสัญญา 0 H 12 0 กับเลขยกกำลังเชิงลบ เป็นประโยชน์ในการเขียน B m (H) ในรูปแบบอื่นโดยใช้การรวมกันแบบแยกส่วนโดยส่วนต่างๆ เริ่มต้นด้วย (8) และจัดเรียงใหม่ตาม B m (tr) เราได้รับสำหรับ k 1 ว่าด้วยวิธีนี้เราได้รับเวอร์ชันแยกกันซึ่งเป็นสิ่งที่ได้จาก (2) โดยใช้การผสมผสานอย่างเป็นทางการตามส่วนต่างๆ (c. บทแทรก 5 ด้านล่าง) เพื่อสนับสนุนความหมายข้างต้นเราแสดงให้เห็นว่า B m (H) มีคุณสมบัติคล้ายคลึงกับสมบัติของ FBM ในการตั้งค่าแบบแยกส่วน (a) B m (H) เป็นศูนย์กลาง (ชัดเจนจากคำนิยาม) และมีการเพิ่มทีละคงที่ ถ้า k 0 และ k เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบแล้ว (แทน u r k 0) (b) B m (H) มีความคล้ายคลึงกันโดยประมาณในแง่ต่อไปนี้: ถ้า a 2 2 m 0 โดยที่ m 0 เป็นจำนวนเต็ม m 0 m จากนั้นสำหรับจำนวนเต็มที่ไม่ใช่จำนวนเต็มใด ๆ ที่ ka เป็นจำนวนเต็มอีกตัวหนึ่งด้วยว่าในทางกลับกันเล็มม่า 4 (และทฤษฎีบท 2) แสดงให้เห็นว่า B m (H) และ B m 1 (H) (และ B mn ( H)) มีความใกล้เคียงสม่ำเสมอกับความน่าจะเป็นขนาดใหญ่โดยพลการในช่วงเวลาที่มีขนาดกะทัดรัดถ้า m มีขนาดใหญ่พอ (เมื่อ) มันอาจจะได้รับการพิสูจน์ในแบบเดียวกับที่ j โดยที่ j 0 เป็นจำนวนเต็มจำนวนเต็ม 2 2 n 2 2 (n 1) ด้วยจำนวนเต็ม n 0 การกระจายมิติมิติ จำกัด สามารถทำโดยพลการได้ใกล้เคียงกับการแจกแจงมิติที่แน่นอนของ B m n (H) ถ้า m มีขนาดใหญ่พอ เพราะฉะนั้น B m (H) โดยพลการใกล้เคียงกับตัวใดตัวหนึ่งเป็น j d 2 2 m 0 ถ้า m มีขนาดใหญ่พอ (c) สำหรับ 0 lt t 1 ltlt t n. การกระจายวงเงินของเวคเตอร์เป็น m คือ Gaussian ที่ไหน ความจริงข้อนี้มาจากทฤษฎีบท 2 (อ้างอิงจากบทแทรก 5) ด้านล่างระบุว่ากระบวนการ Bm (H) เกือบจะ converges กับกระบวนการ Gaussian W (H) ในช่วงเวลาที่กะทัดรัด 4 การรวมกันของการประมาณกับ fBM ในตอนแรกจะแสดงให้เห็นว่ามีการประมาณ fBM ติดต่อกันสองครั้งที่กำหนดโดย (8) หรือเทียบเท่าด้วย (9) มีขนาดเท่ากันถ้า m มีขนาดใหญ่เพียงพอสมมติว่า เห็นได้ชัดว่าการประมาณ RW ข้างต้นของ BM ไม่ดีพอที่จะมีการลู่เข้า เมื่อพิสูจน์การบรรจบกันความแตกต่างของค่าเบี่ยงเบนขนาดใหญ่ที่คล้ายกับเล็มม่า 1 จะมีบทบาทสำคัญ ถ้า X 1, X 2 เป็นลำดับของ i. i.d ตัวแปรสุ่ม, และ S r a r X r. ซึ่งไม่ใช่ทั้งหมดเป็นศูนย์และจากนั้น (ดูเช่น Stroock, 1993, หน้า 33) ผลรวมข้างต้นอาจเพิ่มขึ้นเป็นจำนวนมากหรือหลายข้อ ผลที่ตามมาถ้า S 1, S 2, SN เป็นผลบวกของประเภทข้างต้นเราสามารถหาแบบอนาล็อกของเล็มม่า 1 ต่อไปนี้ได้สำหรับ C 1 และ N 1 ดังนั้นการใช้ (19) จึงได้ผลลัพธ์ที่มี ยกเว้นชุดของความน่าจะเป็นที่มากที่สุด 2 (K 2 2 m) 1 C ที่ไหนและ C gt1 เป็นของโดยพลการ (d) สูงสุด U ม., k เราแบ่งครึ่งบรรทัดเป็นช่วงเวลาของความยาว L ที่ L 4 K สำหรับความชัดเจนให้เลือก L 4 K นอกเหนือจากนี้ส่วนนี้จะคล้ายกับส่วน (b) ในส่วนต่อไปเราจะใช้อนุสัญญาว่าเมื่อขีด จำกัด ล่างของจำนวนเต็มเป็นจำนวนจริง x ผลรวมเริ่มต้นที่ x และในทำนองเดียวกันถ้าขีด จำกัด บนคือ y ผลรวมสิ้นสุดลงที่ y โดย (17) เล็มม่า 3 ให้ขอบเขตบนสำหรับความแตกต่างสูงสุดระหว่างสองค่าประมาณต่อเนื่องของ BM ถ้า j 1 เป็นค่าคงที่โดยพลัน: ยกเว้นชุดของความน่าจะเป็นที่มากที่สุด 3 (jL 2 2 m) 1 C โดยที่ C gt1 เป็นแบบสุ่มและ m m 1 (C) นี่แสดงถึงทุกๆ C 3 และ 1 มม. (C) ว่าความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว (24) จะถือพร้อมกันสำหรับทุก j 1,2,3 ยกเว้นส่วนที่เป็นความน่าจะเป็นที่มากที่สุดสำหรับปัจจัยสำคัญอื่น ๆ ใน (23) ไบโอเมียล (เช่นเดียวกับในส่วน (b)) เฉพาะเมื่อ: สำหรับ C 3 และ mm 1 (C) ใด ๆ ยกเว้น ชุดของความน่าจะเป็นที่มากที่สุด (K 2 2 m) 1 C ตอนนี้เราสามารถรวมผลลัพธ์ของส่วน (a) (d) ดู (18) (20) (21) (22) (27) และ (28) เพื่อให้ได้คำแถลงของบทแทรก โปรดจำไว้ว่าอัตราการลู่เข้าในส่วน (a) และ (c) จะเร็วกว่าส่วนที่ (b) และ (d) โดยเฉพาะอย่างยิ่งสังเกตว่ามีปัจจัย m (b) และ (d) ซึ่งมีคู่ m 12 ใน (a) และ (c) เนื่องจากในแถลงการณ์ของบทแทรกนี้เราจะแทนที่ปัจจัยการบรรจบที่เร็วขึ้นโดยการรวมกันที่ช้าลงตัวคูณคงที่ใน (a) และ (c) สามารถถูกละเว้นได้ถ้า m มีขนาดใหญ่พอ ง่ายมากที่จะขยายสูตร (9) ของการประมาณ m B (H) ของ fBM ให้เป็นอาร์กิวเมนต์จริงโดยการสอดแทรกเชิงเส้นเช่นเดียวกับในกรณีของการประมาณค่า Bm (t) ของ BM ทั่วไปเช่น ใน Szabados (1996) ดังนั้นให้ m 0 และ k 0 เป็นจำนวนเต็ม 0,1 และกำหนดจากนั้นการประมาณค่าพารามิเตอร์อย่างต่อเนื่องของ fBM B m (H) (t) (t 0) มีเส้นทางตัวอย่างแบบต่อเนื่อง piecewise ด้วยคำนิยามนี้เราพร้อมที่จะระบุถึงผลลัพธ์หลักของเอกสารฉบับนี้ ที่ไหน (H, K) และเหมือนกับในบทแทรก 4. (กรณีอธิบายโดยทฤษฎีบท 1) ยกเว้นกรณีที่มีความเป็นไปได้มากที่สุด 8 (K 2 2 m) 1 C เนื่องจากทั้งสอง B m 1 (H) (t) และ B m (H) (t) มีเส้นทางตัวอย่างเชิงเส้น piecewise ความแตกต่างสูงสุดของพวกเขาต้องเกิดขึ้นที่จุดยอดของเส้นทางตัวอย่าง ให้ M m หมายถึงการเพิ่มขึ้นสูงสุดของ B m (H) ระหว่างคู่ของจุด t k, t k 1 ใน 0, K: ยกเว้นกรณีที่มีความเป็นไปได้มากที่สุด 2 (K 2 2 m) 1 C cf เลย (31) ด้านล่าง เส้นทางตัวอย่างของ B m 1 (H) (t) ทำสี่ขั้นตอนในช่วง t k, t k 1 ในการคำนวณค่าเบี่ยงเบนสูงสุดจาก D m มันก็เพียงพอที่จะประมาณการเปลี่ยนแปลงของมันระหว่างจุดกึ่งกลางและจุดสิ้นสุดของช่วงดังกล่าวได้สองก้าวจากจุดสิ้นสุดทั้งซ้ายและขวา: ยกเว้นกรณีที่มีความเป็นไปได้มากที่สุด 2 (K 2 2. (m 1)) 1 C ดังนั้นยกเว้นกรณีที่มีความเป็นไปได้มากที่สุด คำอธิบายข้างต้นแสดงให้เห็นว่าในเวลาเดียวกันนี้จะให้ขอบเขตบนที่เรากำลังมองหายกเว้นกรณีที่มีความเป็นไปได้มากที่สุด (82 32 C) (K 2 2 m) 1 C จากนั้นอาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกันสามารถนำมาใช้เช่นเดียวกับในหลักฐานข้อเขียน 4 ดูเช่น ส่วน (a) นั่น: จากนั้นใช้ N K 2 2 m และ C gt 1 ใน (12) และใช้ (19) มากเกินไปสำหรับ m 1 ด้วยข้อยกเว้นของความน่าจะเป็นที่มากที่สุด 2 (K 2 2 m) 1 C โดยที่ K gt0 และ cg1 เป็นของโดยพลการ ยกเว้นกรณีที่มีความเป็นไปได้มากที่สุด 8.125 (K 2 2 m) 1 C ซึ่ง (H, K) และ (H) เหมือนกับในเล็มม่า 4. จำได้ว่าอัตราการลู่เข้าใน (31) เช่นเดียวกับในส่วน (a) และ (c) ของหลักฐานข้อที่ 4 เร็วกว่าส่วนที่ (b) และ (d) ของหลักฐานดังกล่าว นอกเหนือจากตัวคูณคงที่ผลลัพธ์ของ (31) มีรูปแบบเช่นเดียวกับผลลัพธ์ของ (a) และ (c) ที่นั่น เนื่องจากในคำแถลงของทฤษฎีบทนี้เราสามารถแทนที่ปัจจัยที่มาบรรจบกันได้เร็วขึ้นโดยการบรรจบกันที่ช้ากว่าตัวคูณคงที่ของ (31) จะไม่สนใจถ้า m มีขนาดใหญ่พอ นี่คือเหตุผลที่ (H, K) ที่กำหนดโดยบทแทรก 4 มีความเหมาะสมที่นี่ด้วย ดังนั้นจะได้ว่าตามแทรก BorelCantelli นี้อนุมานได้ว่าด้วยความน่าจะเป็น 1, เส้นทางตัวอย่างของ Bm (H) (t) บรรจบกันเป็นกระบวนการ W (H) (t) ในช่วงเวลาที่กะทัดรัด 0, K ใด ๆ จากนั้น W (H) (t) มีเส้นทางตัวอย่างอย่างต่อเนื่องและสืบทอดสมบัติของ B m (H) (t) ที่อธิบายไว้ในส่วนที่ 3 ซึ่งเป็นกระบวนการกึ่งอัตโนมัติที่มีศูนย์กลางและมีการเพิ่มทีละคงที่ ในบทข้อ 5 ข้างล่างนี้กระบวนการที่กำหนดไว้คือ Gaussian ดังนั้น W (H) (t) คือ fBM และโดย (33) อัตราการลู่เข้าของการประมาณคือค่าที่ระบุไว้ในทฤษฎีบท จุดประสงค์ของบทแทรกถัดไปเพื่อแสดงให้เห็นว่าการรวมกันตามส่วนต่างๆนั้นมีผลบังคับใช้สำหรับ (2) แทน W (H) (t) ส่งผลให้สูตรที่คล้ายคลึงกับ (10) จากนั้นก็เป็นไปตามที่สุ่มตัวอย่างโดยประมาณสามารถประมาณโดยการแปลงเชิงเส้นของกระบวนการ Gaussian ดังนั้นจึงยังเป็น Gaussian หลังจากระยะที่สองทางด้านขวามือของ (37) เราหันไประยะที่สาม ใช้เวลาสักครู่ (0, 0) เนื่องจาก h (s, t) มีอนุพันธ์บางส่วนต่อเนื่อง w. r.t. s ในช่วงเวลาที่ 1 และ, t และโดยทฤษฎีบท 1. B m a. s. (35) และ (36) แสดงให้เห็นว่าด้วยเหตุนี้มีอยู่เช่นว่าทฤษฎีบท 1 ยังหมายถึงว่า m สามารถเลือกเพื่อให้ระยะที่สี่ใน (37) หนึ่งในทำนองเดียวกัน มีทฤษฎีบทที่ 2 (หรือมีการแก้ไขการก่อสร้างทฤษฎีบทที่ 3 ด้านล่าง) รับประกันได้ว่า m สามารถเลือกได้เพื่อให้คำแรกใน (37) มีความเท่าเทียมกัน: สี่สูตรสุดท้ายร่วมกันพิสูจน์ lemma (b) และ (d) ของหลักฐานข้อที่ 4 ให้อัตราการลู่เข้าที่แย่กว่าส่วน (a) และ (c) ซึ่งเป็นอัตราที่สามารถคาดเดาได้ให้ได้ผลดีที่สุด เหตุผลนี้เป็นที่เห็นได้ชัดว่าอัตราการลู่เข้าของ RW ที่ใกล้เคียงกับ BM ทั่วไปซึ่งใช้ในส่วน (b) และ (d) แต่ไม่อยู่ในส่วน (a) และ (c) นอกจากนี้ยังเห็นได้ชัดจากการใช้วิธีประมาณ KMT ที่ดีที่สุดเพื่อลดจุดอ่อนนี้และหวังว่าจะได้อัตราที่ดีที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ด้วยเช่นกัน ราคาที่ต้องจ่ายสำหรับขั้นตอนนี้เป็นขั้นตอนที่ยุ่งยากและขึ้นอยู่กับอนาคตโดยที่วิธีการของ KMT จะสร้าง RWs ประมาณที่เหมาะสมจาก BM ผลที่เราต้องการจาก Komls 1975 และ Komls 1976 มีดังนี้ สมมติว่าคุณต้องการกำหนด i. i.d ลำดับ X 1, X 2 ของตัวแปรสุ่มกับการกระจายที่กำหนดเพื่อให้ผลรวมบางส่วนใกล้เคียงกับ BM มากที่สุด สมมติว่า E (X k) 0, Var (X k) 1 และฟังก์ชันสร้างกำลังชั่วขณะ E (e uX k) lt for. ปล่อยให้ S (k) X 1 X k k 1 เป็นผลรวมบางส่วน ถ้าได้รับ BM W (t) (t 0) แล้วสำหรับ n 1 มีลำดับของการแปรสภาพเชิง quantile เชิงเงื่อนไขที่ใช้กับ W (1), W (2), W (n) เพื่อให้ได้รับส่วนที่ต้องการ ผลรวม S (1), S (2) ,, S (n) และความแตกต่างระหว่างสองลำดับคือน้อยที่สุด: สำหรับ x gt0 ที่ C 0, K 0 เป็นค่าคงที่เป็นค่าบวกที่อาจขึ้นอยู่กับการกระจายของ X k แต่ไม่ใช่ใน n หรือ x นอกจากนี้ยังสามารถสร้างขนาดใหญ่โดยพลการได้ด้วยการเลือกขนาดที่ใหญ่พอ C 0 การที่นี่จะได้มาซึ่ง n 1 คือโดยพลการ แก้ไขจำนวนเต็ม m 0 และนำข้อมูลที่เหมือนกันในส่วนก่อนหน้านี้:. จากนั้นให้คูณความไม่เท่ากันภายในใน (42) โดย 2 เมตรและใช้ความคล้ายคลึงกันของ BM (with) เพื่อให้ได้ RW (0 k K 2 2 m) ที่หดตัวลงจากค่าคู่สมมูล W (tk) (0 k K 2 2 m) ของ BM ตามลําดับการแปลงคาเชิงคาเปนเงื่อนไขเพื่อใหมีคาความนอยกวา K 0 (K 2 2 m) C 0 สำหรับ m 1 และ K gt0 ที่นี่ (19) ถูกใช้ด้วย จากนั้น (43) หมายถึงความแตกต่างของการประมาณสองอย่างต่อเนื่องสำหรับ m 1 และ K gt0 นี่คือสิ่งที่เราต้องการในการปรับปรุงอัตราการรวมกันในส่วน (b) และ (d) ของบทแทรก 4 แทนค่าประมาณของเอ็มทีทีเหล่านี้เป็นความหมาย (8) หรือ (9) ของ B m (H) (t k) ด้วยวิธีนี้เราสามารถหาค่าประมาณของ fBM ได้เร็วขึ้น จากนั้นทุกสิ่งทุกอย่างที่อยู่ใน 3 และ 4 จะยังคงถูกต้องเว้นแต่ว่าจะสามารถใช้สูตรที่ได้รับการพัฒนา (44) แทนเล็มม่า 3 ในส่วน (b) และ (d) ในการพิสูจน์บทแทรก 4 ด้วยวิธีนี้แทน (21) หนึ่งสำหรับทุก m 1 ยกเว้นความน่าจะเป็นชุดที่มีขนาดเล็กกว่า 2 K 0 (K 2 2 m) C 0 นอกจากนี้โดย (44) แทน (24) และ (25) มีความเหลื่อมล้ำที่ดีขึ้น: ยกเว้นความน่าจะเป็นชุดที่มีค่าน้อยกว่า 2 K 0 (jL 2 2 m) C 0 m 1 ถ้า C 0 ถูกเลือกให้ใหญ่พอเพื่อให้ C 0 2 แล้ว (46) จะถือพร้อมกันสำหรับทุก j 1,2,3 ยกเว้นชุดของความน่าจะน้อยกว่า (โปรดจำไว้ว่าเราเลือก L 4 K ในส่วน (d) ของบทพิสูจน์ 4) จากนั้นใช้ในส่วน (d) ของบทแทรก 4. แทน (26) ต้องประมาณจากนั้นแทน (27) และ (28) ผลลัพธ์ที่ดีขึ้นมีดังต่อไปนี้ ครั้งแรกในกรณีที่หนึ่งมีค่า m 1 และ C 0 มากพอที่จะทำให้ C 0 2 ยกเว้นค่าความน่าจะเป็นที่น้อยกว่าที่กำหนดโดย (47) ตอนนี้ในกรณีต่อไปนี้สำหรับทุก m 1 และ c 0 มีขนาดใหญ่พอที่ C 0 2 ยกเว้นชุดของความน่าจะน้อยกว่าที่กำหนดโดย (47) เป็นผลให้มีการรวมกันของ H (0,1) เนื่องจากตัวประมาณค่าของ KMT มีอัตราที่ใกล้เคียงที่สุดกับ BM ทั่วไปโดย RW สามารถคาดคะเนได้ว่าอัตราการลู่เข้าที่อยู่ใน lemma และ theoremic เป็นไปได้ดีที่สุด (นอกเหนือจากตัวคูณคงที่) สำหรับการประมาณค่า fBM โดยการย้ายค่าเฉลี่ยของ RW . Proof รวมผลลัพธ์ของส่วน (a) และ (c) ในหลักฐานข้อที่ 4 และความไม่เท่ากันที่เพิ่มขึ้นข้างต้นนั่นคือใช้ (18) (20) (45) (22) และ (48) และ (49) ที่นี่เราก็เปลี่ยนปัจจัยการบรรจบที่เร็วขึ้นโดยการบรรจบกันช้าลง แต่ตัวคูณคงที่ของเงื่อนไขการรวมกันได้เร็วขึ้นไม่สามารถละเลยเนื่องจาก lemma จะระบุไว้สำหรับ m ใด ๆ 1. ขณะนี้เราสามารถขยายการประมาณค่าที่ดีขึ้นของ fBM เป็นอาร์กิวเมนต์จริง โดยวิธีการแก้ไขเชิงเส้นในลักษณะเดียวกับที่เราทำกับการประมาณค่าเดิมดู (29) This way we get continuous parameter approximations ( t 0) for m 0,1,2,, with continuous, piecewise linear sample paths. Now we can state the second main result of this paper. where and are the same as in Lemma 6. ( In other words . in the definition of in Lemma 6 the constant multiplier 10 has to be changed to 20 here .) The constants are defined by the KMT approximation (41) with C 0 chosen so large that C 0 2. The case is described by (43). Proof The proof can follow the line of the proof of Theorem 2 with one exception: the constant multipliers in (31) and consequently in (30) cannot be ignored here. This is why the multiplier of Lemma 6 had to be modified in the statement of the theorem. It can be conjectured that the best rate of approximation of fBM by moving averages of simple RWs is , where N is the number of points considered. Though it seems quite possible that definition of above, see (8) with the KMT approximations , supplies this rate of convergence for any H (0,1), but in Theorem 3 we were able to prove this rate only when . A possible explanation could be that in parts (b) and (d) of Lemma 4 we separated the maxima of the kernel and the integrator parts. As a result, the convergence rate we were able to prove when is the same that the original KMT approximation (43) gives for ordinary BM, where N K 2 2 m . though in this case the sample paths of fBM are smoother than that of BM. (See, e. g. Decreusefond and stnel, 1998 .) On the other hand, the obtained convergence rate is worse than this, but still thought to be the best possible, , when , which heuristically can be explained by the more zigzagged sample paths of fBM in this case. References Carmona and Coutin 1998 P. Carmona. L. Coutin Fractional Brownian motion and the Markov property Elect. Comm Probab Volume 3. 1998. pp. 95107 Decreusefond and stnel 1998 Decreusefond, L. stnel, A. S. 1998. Fractional Brownian Motion: Theory and Applications. Systmes Diffrentiels Fractionnaires, ESAIM Proceedings 5, Paris, pp. 7586. Decreusefond and stnel 1999 L. Decreusefond. A. S. stnel Stochastic analysis of the fractional Brownian motion Potential Anal. Volume 10. 1999. pp. 174214 Feller 1966 W. Feller An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. ครั้งที่สอง 1966. Wiley, New York Knight 1961 F. B. Knight On the random walk and Brownian motion Trans. Amer. คณิตศาสตร์. Soc Volume 103. 1961. pp. 218228 Kolmogorov 1940 A. N. Kolmogorov Wienersche Spiralen und einige andere interessante Kurven im Hilbertschen Raum Doklady A. N. S. S.S. R. Volume 26. 1940. pp. 115118 Komls 1975 J. Komls. P. Major. G. Tusndy An approximation of partial sums of independent RVs, and the sample DF. I Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete Volume 32. 1975. pp. 111131 Komls 1976 J. Komls. P. Major. G. Tusndy An approximation of partial sums of independent RVs, and the sample DF. II Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete Volume 34. 1976. pp. 3358 Mandelbrot and van Ness 1968 B. B. Mandelbrot. J. W. van Ness Fractional Brownian motions, fractional noises and applications SIAM Rev. Volume 10. 1968. pp. 422437 Rvsz 1990 P. Rvsz Random Walk in Random and Non-Random Environments. 1990. World Scientific, Singapore Samko 1993 S. G. Samko. A. A. Kilbas. O. I. Marichev Fractional Integrals and Derivatives. 1993. Gordon amp Breach Science, Yverdon Skorohod 1965 A. V. Skorohod Studies in the Theory of Random Processes. 1965. Addison-Wesley, Reading, MA Stroock 1993 D. W. Stroock Probability Theory, an Analytic View. 1993. Cambridge University Press, Cambridge Szabados 1990 Szabados, T. 1990. A discrete Its formula. Coll. คณิตศาสตร์. Soc Jnos Bolyai 57. Limit Theorems in Probability and Statistics, Pcs (Hungary) 1989. North-Holland, Amsterdam, pp. 491502. Szabados 1996 T. Szabados An elementary introduction to the Wiener process and stochastic integrals Studia Sci. คณิตศาสตร์. Hung. Volume 31. 1996. pp. 249297 Wiener 1921 N. Wiener The average of an analytical functional and the Brownian movement Proc. Nat. Acad วิทย์ U. S.A. Volume 7. 1921. pp. 294298 Wiener 1923 N. Wiener Differential space J. Math. สรวง Volume 2. 1923. pp. 132174 Copyright 2001 Elsevier Science B. V. All rights reserved. อ้างถึงบทความ ()